2010全国初中数学联赛试题

㈠ 谁有2010年全国初中数学联赛四川初赛试题

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若 均为整数且满足 ，则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是两个正数，且 则 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根，则 的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中，已知 ，D，E分别是边AB，AC上的点，且 ， ， ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ， ，则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 13 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A，B两点，与 轴正方向交于点C．已知 ， ，则 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝ ，PC＝5，则PB＝___ ___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令 ，则 ，其中 均为自然数.
于是，等式①变为 ，即
②
由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ，Q .
（1）如果 都是整数，且 ，求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B，与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解 点P 、Q 在二次函数 的图象上，故 ， ，
解得 ， .
（1）由 知 解得 .
又 为整数，所以 ， ， .
(2) 设 是方程的两个整数根，且 .
由根与系数的关系可得 ， ，消去 ，得 ，
两边同时乘以9，得 ，分解因式，得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整数，所以后面三组解舍去，故 .
因此， ， ，二次函数的解析式为 .
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为 .
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数 为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设 ，由已知等式可得
①
令 ，则 ，其中 均为自然数.
于是，等式①变为 ，即
②
由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设 是大于2的质数，k为正整数．若函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．
解 由题意知，方程 的两根 中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得 ，从而有
①
（1）若 ，则方程为 ，它有两个整数根 和 ．
（2）若 ，则 .
因为 为整数，如果 中至少有一个为整数，则 都是整数.
又因为 为质数，由①式知 或 ．
不妨设 ，则可设 （其中m为非零整数），则由①式可得 ，
故 ，即 ．
又 ，所以 ，即
②
如果m为正整数，则 ， ，从而 ，与②式矛盾.
如果m为负整数，则 ， ，从而 ，与②式矛盾.
因此， 时，方程 不可能有整数根．
综上所述， ．

㈡ 2010全国初中数学竞赛江西区试题答案

我前面错1道
后面对了20分
还50写了很多步骤。

前面加起来83分
你说
50分会不会给我步骤分？

85分左右能进复赛吗

㈢ 2010年全国初中数学竞赛题

1.解：过点A作AG⊥AE，交CB的延长线于点G（注：自己画下图）
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD,AB⊥BC，AD⊥CD，BA⊥DA
∴∠ABG=∠ADE
又AG⊥AE
∴∠EAG=∠BAD
∴∠EAG-∠EAB=∠BAD-∠EAB
∴△ABG全等于△ADE（ASA）
∴AE=AG，DE=BG=3
又∵∠EAG=90°，∠EAF=45°
∴∠FAG=∠EAF=45°
又AF=AF（公共边）
∴△FAG全等于△FAE
∴GF=EF=8
∴BF=GF-BG=8-3=5
∴BF=5
2. 至少要抽13张
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
（2）如果把m×x+k(x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
像上面那道题，就把花色看作抽屉，把牌看作元素。

㈣ 2010年4月11日全国初中数学联赛江西省赛区决赛试题解答

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若 均为整数且满足 ，则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是两个正数，且 则 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根，则 的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中，已知 ，D，E分别是边AB，AC上的点，且 ， ， ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ， ，则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 13 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A，B两点，与 轴正方向交于点C．已知 ， ，则 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝ ，PC＝5，则PB＝___ ___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令 ，则 ，其中 均为自然数.
于是，等式①变为 ，即
②
由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ，Q .
（1）如果 都是整数，且 ，求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B，与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解 点P 、Q 在二次函数 的图象上，故 ， ，
解得 ， .
（1）由 知 解得 .
又 为整数，所以 ， ， .
(2) 设 是方程的两个整数根，且 .
由根与系数的关系可得 ， ，消去 ，得 ，
两边同时乘以9，得 ，分解因式，得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整数，所以后面三组解舍去，故 .
因此， ， ，二次函数的解析式为 .
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为 .
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数 为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设 ，由已知等式可得
①
令 ，则 ，其中 均为自然数.
于是，等式①变为 ，即
②
由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设 是大于2的质数，k为正整数．若函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．
解 由题意知，方程 的两根 中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得 ，从而有
①
（1）若 ，则方程为 ，它有两个整数根 和 ．
（2）若 ，则 .
因为 为整数，如果 中至少有一个为整数，则 都是整数.
又因为 为质数，由①式知 或 ．
不妨设 ，则可设 （其中m为非零整数），则由①式可得 ，
故 ，即 ．
又 ，所以 ，即
②
如果m为正整数，则 ， ，从而 ，与②式矛盾.
如果m为负整数，则 ， ，从而 ，与②式矛盾.
因此， 时，方程 不可能有整数根．
综上所述， ．

㈤ 2010全国初中数学竞赛河南赛区预赛试题答案

2010年全国初中数学竞赛(河南)（初三）的预赛答案:一:D, A, B, C, C, D.二:7)1≤a<2, 8)-2010, 9)1.2乘3的算术平方根, 10)5, 11) y+x=90, 12) 13. 13)共有483人, 14)1, A(6,0) B(0,8) BC=4. 2,t=16/13 3,y=3时,t=3 或t=5-14的算术平方根,15)连AF,显证 △ABC∽△ACD,由角相等,可证 A,E,C,F共圆, 由角相等,再可证△ABC∽ △AEF,得结论.

㈥ 2010年全国初中数学竞赛试题及答案(福建赛区)

我也考完了
http://www.cdjks.com/ReadNews.asp?NewsID=2498
按一下附件,
是word文件来的，点一下“附件”
然后打开
自己看看。

㈦ 2001-2010年全国初中数学竞赛试题及答案

2010年全国初中数学竞赛试题及答案http://www.1230.org/Soft/Class42/Class44/201003/48376.html
或http://www.czsx.com.cn/down.asp?id=42343
希望能帮到你